Un TP plus avancé ... (en cours de rédaction)

On considère maintenant un milieu infini tridimensionnel homogène. Le milieu est non absorbant. La diffusion est isotrope. A chaque diffusion, le photon peut provoquer l'émission d'un photon supplémentaire avec une probabilité $\cal P$. Dans le cas d'une multiplication, les deux photons partent, indépendamment, selon une distribution angulaire isotrope. On des expériences indépendantes dans lesquelles un photon part à l'instant $t_0=0$ de façon isotrope depuis une position $\vec{0}$. Pour chaque expérience on observe le système à un même instant $t>0$ et on compte le nombre de photons situés dans une sphère de rayon $r$ autour de $\vec{O}$. On cherche à determiner la moyenne de ce nombre de photons sur l'ensemble des expériences, en admettant que le nombre d'expérience est très élevé.

La démarche pourra être la suivante :

• Partir de votre compréhension du comportement statistique des particules dans cette nouvelle configuration pour proposer un premier algorithme analogue.
• Réfléchir en détail (sans coder) à ce que serait le calcul de l'incertitude au sein de cet algorithme.
• Ecrire l'équation de transport correspondant au problème considéré et tenter d'établir des liens entre votre algorithme et cette équation de transport. Vous pouvez à ce stade réfléchir à différentes alternatives algorithmiques.
• Poser la formulation intégrale puis coder, ou bien coder puis poser la formulation intégrale.
• Observer que l'on rencontre de sérieux problèmes de convergence lorsque $\frac{\cal P}{\lambda_d}$ augmente.
• Travailler sur la formulation intégrale de façon à régler ce problème de convergence.

Correction : La correction suivante ne suit pas la démarche proposée ci-dessous. Cela signifie simplement que nous invitons les étudiants à explorer en profondeur la question posée avant de consulter cette correction.

Nous commençons par donner (sans les démontrer) deux propriétés de la marche aléatoire de diffusion-multiplication envisagée ici :

• l'espérance du nombre de photons à l'instant $t$ dans l'expérience envisagée (indépendament de leur position) est $E\left(N(t)\right)=exp\left( +\frac{\cal P}{\tau} t \right)$ ;
• à la limite des grands temps, l'espérance du nombre de photons qui à l'instant $t$ sont situés dans une sphère de rayon $r$ autour de $\vec{O}$ est approximativement $E\left(N(t)\right) \approx \exp\left( +\frac{\cal P}{\tau} t \right) \left[ erf... ...rt{\pi}} \frac{r}{\sigma(t)} \exp\left( \frac{r^2}{\sigma(t)^2} \right) \right]$

où

• $\lambda_d$ est le libre parcours moyen de diffusion ;
• $\tau=\frac{\lambda_d}{c}$ est le libre temps moyen de diffusion ;
• $c$ est la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu considéré ;
• $\sigma(t)=\sqrt{\frac{4}{3}c\lambda_dt}$ est l'écart type de la distribution gaussienne resultant de l'approximation de diffusion.

Ensuite nous proposons de travailler à partir de l'algorithme suivant (qui est déjà très éloigné d'un algorithme analogue) :

1. initialisation du temps courant à $0$ ;
2. initialisation de la position du photon à $\vec{0}$ ;
3. initialisation d'un poids $w$ à la valeur $1$ ;
4. tirage aléatoire isotrope d'une direction ;
5. tirage aléatoire d'un libre temps de diffusion ;
6. détermination de la position et du temps courant lors de la prochaine diffusion ;
7. si le temps courant est plus grand que l'instant d'observation $t$,
   • on detemine la position du photon à $t$ ;
   • si la position du photon à $t$ est à l'intérieur de la sphère de rayon $r$ autour de $\vec{0}$, on interrompt l'algorithme ;
   • si la position du photon à $t$ est à l'intérieur de la sphère de rayon $r$ autour de $\vec{0}$, on affecte la valeur $0$ au poids $w$ et on interrompt l'algorithme ;
8. si le temps courant est plus grand que l'instant d'observation $t$, on multiplie le poids $w$ par le facteur $1+{\cal P}$ et on reboucle au point 4.